Tengo la costumbre de emplear una de mis primeras clases de cada curso en enseñar a mis estudiantes a hacer cálculos que, aparentemente, pueden resultar imposibles de llevar a cabo. Esta aparente dificultad para llevarlos a buen fin viene dada por la falta de datos, de información relevante. El físico de origen italiano Enrico Fermi (1901-1954), quien fue una de las cabezas más visibles en el desarrollo del célebre proyecto Manhattan, que concluiría con la construcción de la primera bomba atómica, poseía una asombrosa facilidad para resolver cierto tipo de problemas, como los que os describo en el primer párrafo. Partiendo de unos datos exiguos, era capaz de obtener unas buenas estimaciones, aproximaciones asombrosamente precisas a las soluciones de los problemas planteados. En su honor, a estos problemas o cuestiones se les llama problemas de Fermi. Y para resolverlos, Fermi trataba siempre de descomponer el problema original en otros más simples, lo desmenuzaba hasta que a cada uno de estos micro-problemas le podía asignar una respuesta sencilla.
Para explicaros en qué consisten estos problemas, os pondré tres ejemplos de los que suelo proponer a mis estudiantes. Son estos:
1. ¿Cuántos átomos hay en un cuerpo humano?
2. ¿Cuál es la longitud del pelo que hay en una cabeza femenina?
3. ¿Cuánta gente hay, ahora mismo en el mundo, hurgándose la nariz?
No me negaréis que tienen enjundia, ¿verdad? ¿Entendéis ahora por qué digo lo que digo en los párrafos anteriores? ¿Cómo diablos se puede dar una solución aproximada a semejantes preguntas? Pues, justamente eso, es lo que me dispongo a contaros ahora mismo.
Comencemos por la primera cuestión. ¿Cuántos átomos hay en un cuerpo humano? Veamos, el cuerpo está formado por una serie más o menos diversa de elementos químicos constituyentes, pero no sabemos exactamente cuántos hay de cada tipo. Sin embargo, sí conocemos que un gran porcentaje de nuestro cuerpo es agua. Tomemos, pues, como primera aproximación que todo nuestro cuerpo es agua. Aún siendo este porcentaje del 70%, esto no quiere decir que cometamos un 30% de error, ya que justamente ese otro 30% está formado por otros átomos, aunque no sean de agua. Bien, un conocimiento básico de química nos dice que cada molécula de agua posee tres átomos: dos de hidrógeno y uno de oxígeno. El siguiente paso modesto es saber cuánto pesa una molécula de agua o, lo que es lo mismo, cada átomo que la constituye. Esto también lo aprendimos en el colegio. En un mol de agua hay el número de Avogadro (unos 600.000 trillones) de moléculas y cada mol pesa 18 gramos. Únicamente nos resta asumir un peso medio para un cuerpo humano. Pongamos 70 kg. Resulta trivial deducir que en un cuerpo humano hay, pues, unos 3900 moles de agua y, por tanto, 1028 átomos. ¡Problema resuelto!
Vamos ahora con la segunda de las cuestiones planteadas. Para intentar estimar la longitud total de los cabellos que pueblan una cabeza femenina (masculina también vale) se puede descomponer el problema en estos tres más sencillos: primero, averiguar el área del cuero cabelludo; luego, el número de cabellos por unidad de área y, finalmente, la longitud de un cabello típico. Veamos. La palma de una mano completamente extendida suele abarcar unos 20 cm. Una cabeza humana tiene un diámetro aproximado de un palmo. Si supongo que la forma de la cabeza es esférica y que el cuero cabelludo ocupa la mitad de ésta, utilizando la expresión del área de una esfera (4 veces pi por el cuadrado del radio de la misma), se obtiene que el cuero cabelludo ocupa una extensión de unos 600 centímetros cuadrados. El siguiente paso consiste en utilizar la imaginación o, alternativamente, arrancarse un par de pelos y comprobar que más o menos poseen una anchura (puesto uno a continuación del otro) de 1 mm en una regla graduada. Esto hace unos 400 cabellos por centímetro cuadrado en nuestro cuero cabelludo. Por lo tanto, multiplicando los dos números estimados hasta ahora, se tiene que en la cabeza hay unos 240.000 cabellos. Suponiendo que una mujer tiene, en promedio, su melena a la altura de los hombros y tomando para esta distancia unos 10 cm, se concluye que la longitud total de todo su cabello es de 24 km. Impresionante, ¿no?
La tercera y última cuestión es la que más me gusta de ellas. Aún sin cámaras de vigilancia puedo saber cuántas personas aproximadamente hay en este momento haciendo cochinadas, buscando petróleo en sus orificios nasales. Para ello, partiré de un principio matemático bastante obvio y que me dice que la fracción de tiempo que alguien emplea en una cierta actividad es igual a la fracción de gente que está realizando precisamente esa actividad en este mismo momento. Dicho más sencillamente, si yo empleo un 10% de mi tiempo en volar en avión, entonces más o menos el 10% de la población mundial estará volando en un determinado instante.
Bien, entonces la pregunta es ¿cuánto tiempo empleamos en hurgar nuestra nariz al cabo del día? ¿Diez segundos? Parece poco, ¿no creéis?. Veamos, ¿qué tal 1000 segundos? Por el contrario, parece demasiado, ¿no es cierto? Cojamos, pues, el orden de magnitud intermedio, es decir, unos 100 segundos al día (algo menos de 2 minutos). Si eliminamos de nuestro cálculo a la gente con un par de narices para compensar con los que se comen los mocos con frecuencia (los niños cochinos), y que mantienen la, seguramente equivocada, idea de que alimentarse de pelotillas parece ayudar al sistema inmunitario infantil a reconocer ciertos tipos de virus y bacterias perjudiciales (ver comentario de Sophie, más abajo), simplemente podremos establecer una proporción muy simple que nos proporcionará la solución a nuestro problema planteado originalmente. El cociente entre el número de hurgadores y la población mundial (redondeando, unos 6000 millones) tiene que ser igual al cociente entre el tiempo empleado en hurgarse y la duración de un día. El resultado, asombroso, sin duda: 10 millones de personas están ahora mismo recolectando, rascándose o arrancándose pelillos molestos.
¡Qué cosas asombrosas se pueden hacer con las matemáticas! ¡Hasta la próxima edición del Carnaval de Matemáticas!
P.D. Si os gustan este tipo de acertijos, problemas y cuestiones y queréis potenciar vuestro ingenio, encontraréis mucho más material en el libro de Lawrence Weinstein y John A. Adam titulado Guesstimation: Solving the world’s problems on the back of a cocktail napkin.
20 comentarios:
Al hilo de los pelos, había leído otro problema sobre la cantidad de personas en el mundo que tienen la misma cantidad de pelos en la cabeza. Sabiendo el número máximo que caben en el cuero cabelludo craneal, y que somos 7.000 millones, es fácil...
Tre-men-da, menuda entrada ;)
Disiento en dos cosas: ¿un pelo al lado de otro 1 mm? He hecho la prueba conmigo misma y con mi hermano (lo tenía cerca, pobrecito) y a ambos nos da medio mm, ¿seremos la excepción?. La otra cuestión: te puedo asegurar que comerse los mocos no fortalece el sistema inmunológico, lo comenté aquí http://mondomedico.wordpress.com/2008/11/30/yo-me-como-los-mocos-para-fortalecer-mi-sistema-inmune/
Sophie, he leído tu post y los comentarios y la verdad es que me he quedado con dudas. Ahora ya no sé qué pensar. De todas formas, lo achacaré a mi infinita ignorancia y modificaré el texto en mi post.
En cuanto a las dimensiones de los pelos en tu familia, no pasa nada. Recuerda que la filosofía de los problemas de Fermi es estimar el orden de magnitud de los números que intervienen. Un factor 2 arriba o abajo no modifica el orden de magnitud. De todas formas, tengo entendido que los cabellos humanos no son de tamaño estándar, aunque igual meto la pata, como con los mocos.
¡¡Gracias!!
Magistral profe. Conocía de oídas los problemas de Fermi, y de hecho creo que me lo explicaron calculando la cantidad de pelos que tenemos en la cabeza (lo de la longitud total ya es avanzado), pero lo había olvidado completamente.
Eso sí, 100 segundos al día buscando petroleo... no es demasiado? Eso sí, aunque fueran 10 segundos, el resultado me sigue pareciendo increíble.
Gran entrada, como siempre.
No, el grosor del pelo no es estándar ;) así que por eso no te preocupes. Además, con lo que me has explicado veo que quien metió la pata fui yo por tomármelo "tan al pie de la letra". Si Fermi levantara la cabeza...
En cuanto al producto interior bruto extraido de las napias, tampoco le des más vueltas ni modifiques mucho con mencionar lo que dices, que es seguramente una idea equivocada o "dicen que..." solucionas eso ;)
Buenísimo
Gran entrada. En esta línea es recomendable el libro de Clifford Swartz, "Back-of-the-Envelope Physics," The Johns Hopkins University Press, 2003.
Para los que prefieren ojear un libro antes de comprarlo: el primero y el segundo).
Me encantan estos problemas.
Me acuerdo que en bachillerato, nuestro profesor nos propuso saber cuantos afinadores de piano había en nuestra ciudad.
Lo malo es que al preguntarnos cuantos pianistas había en zaragoza, tomamos a nuestra clase como ejemplo... y eramos 8/10 lo que tocábamos el piano XD.
PD: Lo de 100 segundos buscandose petróleo era para compensar la enorme cantidad de niños mocosos que hay ¿no?.
Mientras leía la entrada estuve hurgándome en la nariz. Tardé algo más de 100 segundos, pero bueno, es lo que tiene ser un mocoso vicioso xDDD
Fuera de bromas, los problemas de Fermi cada vez me gustan más!! Son geniales!!
Con de las prospecciones en la nariz... ¿no deberíamos descartar al tercio (aproximado) de población mundial que esta durmiendo?
(PD: descubrí este blog hace poquito y la verdad es que hay que felicitarte)
@nonick Con este cálculo ya está descartado. Se toma de promedio que una persona dedica 100 segundos al día a esta actividad. Obviamente estos segundos tendrán lugar cuando se está despierto… ;)
Saludos.
@DarkSapiens
Pues yo no lo veo muy claro. Por ejemplo: en españa la gente dedica 1/3 del día a dormir. Luego en españa en este momento 1/3 de la población está durmiendo???
Si lo aplicamos a toda la tierra yo creo que sigue sin ser del todo correcto porque la población no está uniformemente distribuida por el planeta (el océano pacífico es muy grande)
@Iñigo: Sí, habría que aplicarlo para todo el mundo si se hace así.
Y precisamente, no se trata de ser del todo correcto, como se ha explicado más arriba. Se trata de hacer una estimación :) Ésta se puede mejorar investigando mejor los factores que multiplican en la solución, teniendo en cuenta las cosas que dices, pero es muy posible que el orden de magnitud no variase.
Saludos!
Me ha encantado. Yo hice hace un tiempo una entrada en la que hablaba también de los problemas de Fermi , y aunque los resultados no fuesen demasiado buenos, fue divertido pensar sobre ello.
Leyendo tu entrada he recordado el libro de Enrico Fermi que estoy leyendo ahora mismo, "Thermodynamics" que desglosa las 3 leyes de la termodinámica. Lo cierto es que me lo recomendaron porque a mi no me gustó mucho esa asignatura, y estoy cambiando de opinión. Así que aprovecho y os lo recomiendo a todos (se necesita un poco de nivel de matemáticas, pero no demasiado).
Un saludo!
El problema de las aproximaciones es que se pueden cometer errores bastante groseros. Por ejemplo, con el de la cabeza y los pelos y dada la no uniformidad de distribución de los cabellos, sabemos que la estimación media más correcta es de poco más de 150000 cabellos para una mujer normal. Con lo que, volviendo a los 10cm de longitud, tenemos unos 15km, que es una cifra sensiblemente menor. Aunque el mero hecho de no errar en el orden de magnitud, ya es suficiente y puede dejar boquiabierto a más de uno.
Con respecto a los mocos, aceptaremos la aproximación, por no verme mañana vigilando a los alumnos y con el cronómetro en la mano...
Jorgemfr: esa es la filosofía de los problemas de Fermi, dar o proporcionar el orden de magnitud y no una cifra exacta. De hecho, cada persona tiene un número de cabellos distinto y de longitudes distintas. Pero lo interesante del orden de magnitud de las cosas es que permite, por ejemplo, saber que el número de cabellos no es ni de 100 ni de 4000 millones, sino del orden de los cientos de miles. Esa es la idea.
El numero de átomos está en el orden de las decenas de miles de cuatrillones y no en los trillones. A mí me parece un gran avance ser capaz de llegar a esta conclusión.
Qué notable entrada, un excelente ejemplo de una forma de pensamiento matemático que es tan mirada en menos. Existe una mala interpretación muy común sobre la idea de que la matemática es una "ciencia exacta", que le resta importancia a todo lo que involucre estimación, y esto nos lo inculcan desde los primeros niveles. Pero pensar matemáticamente involucra un sin-número de estrategias distintas, en oposición al sin-número de algoritmos que tantas veces utilizamos mecánicamente.
Saludos desde Chile :)
Totalmente de acuerdo, Sergio. De hecho, considero positivo que alguien resuelva erróneamente un problema y, sin dar con la solución correcta, sea capaz de detectar que ha cometido algún fallo porque el orden de magnitud del resultado no se ajusta a los esperable. Esta lógica tan aplastante, que en la uni os parecerá obvia, no lo es tanto cuando tratas con alumnos de cursos inferiores.
Me encanta esta entrada. Llevo años inventando soluciones de este tipo, pero no sabía de Fermi ni de esos libros que comentáis. ¡Ahora tendré que comprarlos y leerlos, malditos!
Yo resumía mi aficción , a decir que en otra época habría sido cubero.
No suelo entrar muy a menudo en este blog (tengo muchos blogs habituales, y generalmente poco tiempo para visitarlos), pero cada vez que entro me pregunto por qué no lo visito con mayor asiduidad.
Interesantísima la entrada. Me imagino sentado en esa clase, y encantado a su final.
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