Dicha torre debía constar de un número infinito de habitaciones. Cada planta únicamente podía poseer una habitación de 9 metros de alto. Todas ellas mantendrían suelos y techos cuadrados. La planta más baja tendría las dimensiones de un cubo de 9 metros de arista y a medida que se iba ascendiendo, las dimensiones laterales de cada habitación irían disminuyendo según los términos de la serie armónica: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ...
Cuando estuvo terminada la torre, ésta refulgía por fuera bajo la potente luz solar. Esto complació al rey, que se sentía orgulloso de su torre dorada. Sin embargo, cuando entró dentro, las paredes emitían tal cantidad de reflejos que el efecto le resultó extremadamente desagradable y molesto. Así pues, decidió ordenar que los interiores de cada una de las infinitas habitaciones se pintasen de color púrpura, para lo cual consultó al sabio de la corte real.
Al hombre sabio se le inquirió por la cantidad necesaria de pintura para llevar a cabo la titánica empresa encomendada por el rey, pero aquél enseguida se dio cuenta de que la superficie interior de la torre poseía un área infinita. Razonando cuidadosamente concluyó que, incluso despreciando la cantidad de pintura necesaria para los techos y los suelos de las habitaciones, el área de la superficie interna de la planta baja ascendía a 324 metros cuadrados; la de la siguiente a 162 metros cuadrados; a continuación, 108 metros cuadrados, y así sucesivamente.
Expresando el área total anterior en forma de suma de los términos de una serie numérica, el sabio escribió más o menos lo siguiente:
A = 4 x 9 x 9 (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ... )
Como, normalmente, los reyes y otros gobernantes se hacen rodear de gente inteligente, el matemático de la corte (hasta ahora le hemos llamado sabio porque eso es lo que era, que el título no te da sabiduría, seas lo que seas) pronto se apercibió de que la serie era divergente y, en consecuencia, la cantidad de pintura necesaria para cubrir las paredes de las habitaciones sería infinita. O sea, que de pintarlas nada de nada.
Lógicamente, el rey no aceptó las razones de la ciencia, así que decidió que el matemático real fuese encerrado en las mazmorras hasta el amanecer, momento en que sería ejecutado, siempre que no idease un método alternativo para solucionar "su problema". Y esta vez, el rey no quiso ni dar siquiera la oportunidad de prescindir de los techos y los suelos. Lo quería absolutamente todo embadurnado de pintura púrpura real.
¿Quieres ayudar al sabio de la corte? Tic, tac, tic, tac...
Lógicamente, el rey no aceptó las razones de la ciencia, así que decidió que el matemático real fuese encerrado en las mazmorras hasta el amanecer, momento en que sería ejecutado, siempre que no idease un método alternativo para solucionar "su problema". Y esta vez, el rey no quiso ni dar siquiera la oportunidad de prescindir de los techos y los suelos. Lo quería absolutamente todo embadurnado de pintura púrpura real.
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21 comentarios:
Que contrate al mismo que le fabricó la torre infinita.Si pudo hacerla, bien podrá pintarla.
Propuesta: Coger una bomba e ir metiendo pintura real púrpura hasta llenar por completo TOOOOOOOOOODO el interior de la torre.
De esta forma necesitaremos la siguiente cantidad de pintura (en m3 -metros cúbicos).
Hab 1: 9^3
Hab 2: 9*(9/2)^2=9^3/2^2
Hab 3: 9*(9/3)^2=9^3/3^2
...
Hab n_ 9*(9/n)^2=9^3/n^2
En total el volumen necesario será:
9^3(1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2+...)
y esta última serie es convergente y suma PI^2/6
Por lo que el volumen necesario sería 9^3*PI^2/6=243*PI^2/3=1199'157.
De esta forma, si se deja la pintura el suficiente tiempo dentro de la torre (se supone que, además, TAPIAMOS TODAS LAS VENTANAS Y APERTURAS POSIBLES) paredes, suelo y techo acabará pintado de púpura real.
Pues... ni idea de la solución, pero si yo fuera el sabio, le diría una cantidad suficientemente grande para que el rey no sospechara y le pondría la condición de pintarla yo... No soluciono nada, pero por lo menos tendría trabajo fijo para toda la vida.... que mas podría pedir?
No soy físico y nunca he tenido el placer de estudiar matemáticas avanzadas o cualquier asignatura de ciencias, pero se me ocurre una solución lógica. Dado que la torre tiene un número infinito de habitaciones, el tiempo que una persona tardaría en recorrerlas debería de ser también infinito. Así pues bastaría con calcular el número de habitaciones que una persona podría visitar en vida, para, finalmente, pintar ese número de habitaciones.
Es cierto que la serie
(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ... )
es divergente...
¿No sería por la misma razón la torre de tamaño infinito?
Otra cosa es que tienda a hacerse estrecha, hasta ser fina como un hilo. Pero un hilo que debería ir hasta el infinito.
Me da que han hecho trampa, y la torre se "corta" a partir de cierto grosor.
La serie no se continuaría eternamente entonces.
Si las paredes las han ido estrechando, por la misma regla de tres, la capa de pintura también podría hacerse.
Si el grosor de la capa de pintura va adelgazando, la fórmula matemática no es la misma.
¿Van por ahí los tiros?
A todo esto...
¿No está mal planteado?
Cada habitación no se reduce el área de pintura en la serie planteada, porque al reducir la arista en todas las dimensiones, se reduce el área en todas las dimensiones (en su caso, dos)
Así que la serie sería...
4 x 9 x 9 * (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/n^2 + ... )
Si el problema es el pintar las paredes interiores para que no le moleste a la vista, bastaría con pintar aquellas habitaciones lo suficientemente grandes como para que entrara el rey o incluso como para siquiera pintarlas.
Si el rey ejecutó al sabio por ser incapaz de pintar una serie infinita de habitaciones no quiero ni pensar que debió de hacerle al arquitecto que tuvo que construirlas.
El volumen total de las habitaciones de la torre sí que tiene un valor finito.
La serie numérica que se utiliza para calcularlo es
V = 9^3 *(1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/n^2 + ... )
cuyo valor aproximado es 1.65*9^3
Por lo tanto se podría pintar la torre por ejemplo rellenándola de 1.65*9^3 m^3 de pintura, es decir, con menos pintura de la que se usaría para pintar con este método 2 habitaciones de igual tamaño que la habitación más baja.
Obviamente es un ejercicio no realizable, puesto que si la serie es divergente (una serie armónica lo es, y aunque la multipliquemos por un valor finito [nº de metros de cada habitación], lo seguirá siendo), no podremos darle un valor finito al número de habitaciones, y puesto que tendrá un número infinito de habitaciones, necesitaríamos infinitos litros de pintura.
@Supernova En el caso que has puesto... Tienes más razón que un santo. Pero he de decirte que en tu caso la serie no sería divergente, sino convergente, ya que 1/2^p con p>1 lo es, puesto que es finita.
Pero si comparas los primeros 3 términos de la serie verás que a la conclusión que has llegado es errónea, puesto que la tercera planta debería de tener 81 metros cuadrados.
Unas gafas antireflejos y ahorramos en pintura que ya está bien de gastar. Y si no quiere, se le mete una república por el mismísimo agujero negro. Yo es que no soy de números. Picotazo.
Mediante el criterio de comparación si una serie es divergente (no se puede acotar) una serie que sea mayor también es divergente, por tanto, si la armónica es divergente: 4 x 9 x 9 * (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ... )
Ésta serie también sería divergente, y al ser divergente la suma de la serie tiende a infinito, por lo que necesitas infinitos litros de pintura y tiene infinitas habitaciones.
1 molecula de pintura recubierta por un cubo de moleculas de oro. Eso seria la habitacion mas pequeña ( y con muchos matices).
El problema de nuestra matematica es que no sabemos como limitarla en relacion a la realidad, y nos topamos continuamente con paradojas infinitas.
"entró dentro" me chirria feo en los ojazos.
En cuanto a la solución, no tengo una definida, pero ¿que acaso, a pesar de ser infinita, no tiene un "tope"? Quiero decir, supongamos que tenemos el número 2, y le agregamos .1, y al resultado le agregamos .01, y al resultado le agregamos .001 y así sucesivamente,lo que quiero decir, haciendo esto, nunca llegamos siquiera a tener 2.2, a pesar de hacer infinitas operaciones.
Entonces, lo que haría falta calcular sería este "tope" y proponer un número ligeramente superior, el 2.2 de mi ejemplo.
Disculpa por la pereza de no hacer los cálculos, que ya es tarde por acá, pero creo que por ahí van los tiros.
¿Esto no lo resolvió Euler con 28 años?
(problema de Basilea)
Eso venía yo a decir, José Luis. Con ayuda externa, que ni soy Euler, ni tengo 28 años, claro.
En cuanto he leído el enunciado me he acordado de éste post, que me había dejado intrigadísimo.
http://gaussianos.com/el-problema-de-basilea/
Así que... (Pi^2)/6, ¿no?.
Si he entendido bien el problema, se ha construido una torre con infinitas habitaciones de 9 metros de alto y una en cada planta. La altura se mantiene constante en cada planta pero las dimensiones ancho y largo de las habitaciones van disminuyendo a lo largo de las plantas de acuerdo a la serie armónica: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... , 1/n, ... Por lo tanto, tendremos una torre un poco irreal con las siguientes características:
1) Altura infinita de la torre por tener infinitas plantas de 9 metros de altura.
2) La suma de todas las superficie de las paredes, sin contar suelos y techos, será infinita = 4x9x(9 + 9/2 + 9/3+...+9/n+...)
3) En cambio el volumen como suma de todos los volúmenes de las habitaciones será finito.
V = 9x9x9x(1 +(1/2)^2+(1/3)^2+...+(1/n)^2+....)
Extraño ¿no?
Como las matemáticas nos permiten construir esta torre irreal, también nos permitirá pintar las paredes de sus habitaciones con una cantidad finita de pintura. Lo único que tendremos que hacer es pintar la primera habitación con una capa de pintura de espesor, por ejemplo, 1 mm; la siguiente habitación la capa de pintura tendrá un espesor de 1/2 mm, la siguiente 1/3mm, 1/4 mm, ... 1/n, ...
La cantidad de pintura necesaria será: 4x9x9x(1+(1/2)^2+(1/3)^2+...(1/n)^2+...). Esta serie vuelve a ser finita
Como he dicho, esta torre es irreal, ya que en el mundo fisico no hay cantidades ni infinitamente grandes, ni infinitamente pequeñas. Las matemáticas nos permiten construirlas y pintarlas con una cantidad finita de pintura.
Esto se parece al problema de la Trompeta de Torricelli:
http://es.wikipedia.org/wiki/Trompeta_de_Torricelli
La solución sería en usar un espesor de pintura cada vez menor. Lo que, por otra parte, es necesario cuando las habitaciones son muy pequeñas.
Por otra parte, las habitaciones llegarían a hacerse tan pequeñas que no se podrían pintar por dentro.
Más todavía, cuando tengamos una habitación tan pequeña que conste solamente de un átomo, ya no se puede seguir construyendo más habitaciones.
no se dice que las habitaciones comuniquen entre sí, ni se habla de que haya escaleras para pasar de una a otra ni nada por el estilo... además, en caso de que hubiese escaleras habría que añadir su superficie a la hora de calcular la pintura
siendo así bastaría con pintar la primera habitación para que el brillo no molestase al rey
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